什么是形数？

还要从毕达哥拉斯说起。

毕达哥拉斯用等距离的小石头摆成等边三角形或者正方形，或者五边形、六边形之类的形状，将所用小石头的数目，分别叫做三角形数、正方形数、五边形数。

三角形数：1，3，6，10……就是开始的n个自然数和；

正方形数：1，4，9，16……就是平方数；

然后还有五边形数、六边形数等等。

不要觉得这很简单没多少难度，形数的奥妙多到你想象不到！

说一个简单的，我们研究的勾股定理，其实就是正方形数的一个特例。其等价于，两个小正方形，什么情况下能摆成一个大正方形。

勾股定理假如对幂次进行拓展，anbncn，就是费马猜想，当然现在是费马大定理了；

如果对项数拓展，有四平方和定理：任何一个整数，表示成a2b2c2d2……这样的形式，最多需要四项吗？

这完全是形数领域了，最后由欧拉和拉格朗日给出了证明。

但继续拓展就到华林问题了，平方数需要四项，立方数需要几项？5次方呢？6次方呢？这是至今都尚未解决的大坑。

不仅如此，费马在形数领域还挖了另一个坑，叫做多边形数猜想。

该猜想由数学小王子高斯拔得头筹，柯西完成了最终的证明，前后历时两百多年。

虽然证明了，继续拓展就会到完美立方体问题，这又是一个至今尚不能证明或证否的大坑……

所以甘大地虽然才提了个头，叶寒已隐隐感觉不妙。

不是问题他答不出来，当然答不出来的可能性也是有的，但就算答得出来，他的答案丢给对方，对方能够理解的概率也近乎于零。

果不其然，甘大地先抛出了两个比较简单的问题投石问路，如果知道相邻的三角形数之和是正方形数，或者第n个立方数是第n个三角形数的平方，就可以很轻松的给出答案。

然后他就图穷匕见了！

先给了几个例子，比如431；5311；761；8611；963；141031；201010……

然后问叶寒，是不是所有数，都能用最多三个三角形数表示？

是的。

三角形数就可以三个数表示，正方形数就得四个数表示，多少边形数，就可以用多少个数表示，这就是多边形数猜想。费马“地方太小写不下”的著名猜想之一。

上面只是n3的情况。

但就算n3也不是那么好证的，想当初

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